Magische Quadrate (3x3) - Gleichungen

Ein allgemeines 3x3 Quadrat.
a b c
d e f
g h i

Bei Magischen Quadraten ist die Zeilensumme, die Spaltensumme und die Summe der Zahlen auf der Diagonalen immer gleich groß.

Die Summe soll sein.

Wir können 8 Gleichungen aufstellen. 3 Spalten, 3 Zeilen und 2 Diagonalen. Es gibt aber 9 Variablen. D. h. die Lösung ist in jedem Fall mehrdimensional.

$$ \begin{matrix} a & + & b & + & c & & & & & & & & & & & & & = & 15 \\ & & & & & & d & + & e & + & f & & & & & & & = & 15 \\ & & & & & & & & & & & & g & + & h & + & i & = & 15 \\ a & & & & & + & d & & & & & + & g & & & & & = & 15 \\ & & b & & & & & + & e & & & & & + & h & & & = & 15 \\ & & & & c & & & & & + & f & & & & & + & i & = & 15 \\ a & & & & & & & + & e & & & & & & & + & i & = & 15 \\ & & & & c & & & + & e & & & + & g & & & & & = & 15 \end{matrix} $$

Dies ergibt folgende Matrix:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ 15 \\ 15 \\ 15 \\ 15 \\ 15 \\ 15 \\ 15 \end{pmatrix} $$
Vertauschen der Zeilen und geschickte Addition führt zum Auflösen des Gleichungssystems. Gauss Algorithmus Alternativ können Sie auch ein CAS bemühen. Maxima Code (Die unterschiedlichen Werte der beiden Verfahren entsprechen nur unterschiedlichen Darstellungen. Sie beinhalten aber dieselbe Lösung.) $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \\ -10 \\ 5 \\ 20 \\ 15 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f \\ g \\ h \\ i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 10 \\ -5 \\ -10 \\ 5 \\ 20 \\ 15 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \\ -2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $$

Die Lösung zur Summe 15
10 10 -5
-10 5 20
15 0 0
u
+ r ⋅
0 -1 1
1 0 -1
-1 1 0
u
+ s ⋅
-1 0 1
2 0 -2
-1 0 1

huhu


Das erste Quadrat ist ein Quadrat mit der gesuchten Summe. Die anderen beiden Quadrate haben als Summe jeweils null! Von denen kann man beliebige Vielfache auf das erste Quadrat addieren. Die Summe ändert sich dann nicht.