Koordinatensystem
Lineare Abhängigkeit und Lösungen eines Gleichungssystems
Die Leitfrage in diesem Abschnitt ist: Wann hat ein Gleichungssystem eine eindeutige Lösung?
Die Antwort liefert das Gaussverfahren: Das Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung, wenn bei den Umformungen keine Nullzeile in der Matrix entsteht. D. h. dass die Zeilen nicht linear von einander abhängen. Bisher haben wir nur die lineare Abhängigkeit von den Spalten (Vektoren) betrachtet. Wir werden uns überlegen, dass lineare Abhängigkeit bedeutet, dass dann sowohl die Zeilen als auch die Spalten voneinander abhängen.
Lineare Abhängigkeit der Zeilen
Wenn in einem Gleichungssystem die Zeilen voneinander linear abhängen, dann erhalten Sie beim Lösen des Gleichungssystems mit dem Gaussverfahren unweigerlich eine Nullzeile bei der Matrix.
Wenn Sie eine Nullzeile bei der Matrix haben, dann gibt es entweder unendlich viele Lösungen oder keine.
Wenn die Zeilen linear unabhängig sind, erhalten Sie eine eindeutige Lösung.
Lineare Abhängigkeit der Spalten
Wenn die Spalten linear unabhängig sind, dann gibt es genau eine Lösung. Dies ist die Definition der linearen Unabhängigkeit bei Vektoren gewesen: $$ r \vec{a} + s \vec{b} = 0 $$ Die Vektoren (Spalten) sind linear unabhängig, wenn es als Lösung nur $r=0$ und $s=0$ gibt.
Die Umkehrung besagt dann, dass Sie keine oder unendlich viele Lösungen erhalten, wenn die Spalten linear abhängig sind.