Lineare Unabhängigkeit

Vektoren sind dann linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren durch die anderen Vektoren dargestellt werden kann.

Beispiel 1: $$ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} $$ Diese Vektoren sind linear abhängig, weil: $$ 2 \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} $$ Diese drei Vektoren spannen nur eine Ebene auf.

Beispiel 2: $$ \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Diese Vektoren sind linear unabhängig, denn man kann keinen der Vektoren aus den anderen Vektoren bilden. Das Volumen der drei Vektoren ist ungleich null.

Feststellen der linearen Unabhängigkeit: Verfahren 1

Allgemein gilt bei Vektoren, die linear abhängig sind, dass es Werte für $r$, $s$ usw. gibt, die nicht null sind: $$ r \overrightarrow{a} + s \overrightarrow{b} + t \overrightarrow{c} = 0 $$

Beispiel $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} $$ Um zu entscheiden, ob die drei Vektoren linear abhängig sind, muss folgendes Gleichungssystem gelöst werden: $$ r \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 $$ Das Gleichungssystem in Matrix-Schreibweise: $$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 4 & 1 & 9 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r \\ s \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Dies kann man mit dem Gaussverfahren auflösen. Da man keine Nullzeile erhält, weiß man, dass es eine eindeutige von Null verschiedene Lösung geben muss. Also sind die Vektoren linear abhängig. Es ergibt sich ($r=2$, $s = 1$ und $l = -1$).

Feststellen der linearen Unabhängigkeit: Verfahren 2

Wenn 3 Vektoren linear unabhängig sind, dann bilden sie einen Körper, dessen Volumen nicht null ist. Wenn Sie linear abhängig sind, bilden sie einen Körper in der Ebene. $$ V = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} $$ Wenn das Volumen bei drei dreidimensionalen Vektoren null ist, dann sind diese linear abhängig.

Beispiel $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} $$ Diese drei Vektoren sind linear abhängig, weil deren aufgespanntes Volumen null ergibt: $$ \begin{array}{rcl} V &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ -10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} \\ &=& 21 + 9 - 30 \\ &=& 0 \end{array} $$

Bedeutung der linearen Unabhängigkeit

Linear unabhängige Vektoren können eine Basis für den jeweiligen Raum bilden:

Es sind zwei Ebenen gegeben: $$ E_1: \overrightarrow{x} = A + r \overrightarrow{a_1} + s \overrightarrow{a_2} E_2: \overrightarrow{x} = B + k \overrightarrow{b_1} + l \overrightarrow{b_2} $$ Wenn die Vektoren $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{b_1}$ und $\overrightarrow{a_1}, \overrightarrow{a_2}, \overrightarrow{b_2}$ jeweils linear abhängig sind, dann sind $E_1$ und $E_2$ parallel (oder identisch).