Abstand zwischen zwei Geraden

Wenn die beiden Geraden parallel sind, dann sind alle Punkte der ersten Geraden gleich weit von der zweiten Geraden entfernt (und umgekehrt). Dann müssen Sie die Entfernung eines Punktes der ersten Gerade zur zweiten Geraden berechnen: Abstand: Punkt - Gerade

Wenn die Geraden nicht parallel sind und sich nicht schneiden, sagt man, dass die Geraden windschief sind.

Aus den beiden Richtungsvektoren der beiden Geraden kann man eine Hilfsebene erstellen. Diese Hilfsebene ist parallel zu den beiden Geraden. Wenn Sie eine Gerade "in diese Hilfsebene legen", dann müssen wir nur noch den Abstand der anderen Gerade zu dieser Hilfsebene bestimmen.

Beispiel

Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Geraden: $$ g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $$ g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 8 \\ 13 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix} $$

Konstruktion der Hilfsebene

$$ \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} $$ $$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $g_1$ sei Teil der Hilfsebene. Dann ist die HNF der Hilfsebene: $$ E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} $$

Die Hilfsebene ist parallel zur zweiten Geraden. Deswegen setzen wir irgendeinen Punkt der zweiten Geraden in die HNF-Darstellung der Hilfsebene ein. $$ \begin{array}{rcl} d &=& \left[ \begin{pmatrix} 8 \\ 13 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ -3 \end{pmatrix} \right] \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ &=& \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2 } {3} \\ &=& \frac{2 + 2 + 8 } {3} \\ &=& \frac{12}{3} \\ &=& 4 \end{array} $$ Der Abstand ist 4 LE.