Höhe im Dreieck

Dieser Abschnitt behandelt Höhen eines Dreiecks im 3-dim. Raum. Die Berechnung ist auf Mittelsenkrechten übertragbar. Auch dort gibt es diese zwei Möglichkeiten der Berechnung.

Gegeben sind Ihnen drei Punkte (A, B, C) eines Dreiecks im 3-dimensionalen Raum. Gesucht ist die Höhe $h_c$.

Die Höhe muss zwei Bedingungen erfüllen:

  1. Die Höhe $h_c$ liegt in der Ebene des Dreiecks.
  2. Die Höhe $h_c$ ist senkrecht zur Seite $c$.
Es gibt zwei Möglichkeiten dieses Problem zu lösen.
  1. Berechnung mit Hilfe der Normalen der Ebene (Vektorprodukt)
  2. Berechnung mit Hilfe der Linearkombination der Ebenenvektoren (Gleichungssystem)

Berechnung mit Hilfe der Normalen der Ebene

$h_c$ ist sowohl senkrecht zur Normalen der Ebene als auch auf die Dreiecksseite AB.

$$ \begin{array}{rcl} \vec{a} &=& \overline{BC} = C-B \\ \vec{b} &=& \overline{CA} = A-C \\ \vec{c} &=& \overline{AB} = B-A \end{array} $$ Dann lässt sich die Normale mit Hilfe des Vektorproduktes berechnen: $$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$$ Und für den Richtungsvektor der Höhe $h_c$ gilt: $$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{h_c} &=& \vec{n} \times \vec{c} \\ &=& \vec{a} \times \vec{b} \times \vec{c} \end{array} $$ Die Gerade, in der die Höhe $h_c$ liegt ist dann: $$ g: \vec{x} = C + r \overrightarrow{h_c} $$

Berechnung mit Hilfe der Linearkombination der Ebenenvektoren

Das Dreieck liegt in einer Ebene, bei dem zwei der Seiten des Dreiecks Richtungsvektoren der Ebene sein können. Jeder Punkt der Ebene und damit auch jede Linie in der Ebene kann durch geschickte Kombination der Richtungsvektoren dargestellt werden.

Sie lösen folgendes Gleichungssystem: $$ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{h_c} &=& r \vec{a} + s \vec{b} \\ \overrightarrow{h_c} \cdot \vec{c} &=& 0 \end{array} $$

Beispiel

Sie haben ein Dreieck im Raum mit den Eckpunkten A(0|0|0), B(0|0|3), C(1|0|1). Bestimmen Sie den Höhenschnittpunkt.

Methode: Mit Hilfe der Normalen zur Dreiecksebene

Da die Normale $\vec{n}$ senkrecht zur Dreiecksebene ist, ist es egal, welches Vektorprodukt Sie nehmen: $$ \overline{BC} \times \overline{AC} = \overline{AB} \times \overline{AC} $$ $$ \begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\3\\0 \end{pmatrix} $$

Jedoch wählen wir als Normalenvektor den Vektor, der in dieselbe Richtung zeigt und die kleinsten ganzzahligen Werte besitzt. (Alle Komponenten wurden um 3 gekürzt.)

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Die Höhen sind sowohl senkecht zur Normalen und als auch zu der jeweiligen Dreiecksseite: Die Richtungsvektoren der Höhen lassen sich durch das Vektorprodukt bestimmen: $$ \begin{array}{rclcl} \overrightarrow{ha} &=& \vec{n} \times \overrightarrow{BC} \\ &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} -2\\ 0 \\-1 \end{pmatrix} \\ &\sim& \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\1 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{hb} &=& \vec{n} \times \overrightarrow{AC} \\ &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\-1 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{hc} &=& \vec{n} \times \overrightarrow{AB} \\ &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 3\\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{array} $$ Die Höhen sind Teilstrecken folgender Geraden: $$ \begin{array}{rclcl} ha: \vec{x} = A + r\cdot \overrightarrow{ha} &=& r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\1 \end{pmatrix} \\ hb: \vec{x} = B + r\cdot \overrightarrow{hb} &=& \begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\-1 \end{pmatrix} \\ hc: \vec{x} = C + r\cdot \overrightarrow{hc} &=& \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{array} $$ Die Höhen sind durch diese Geraden mit entsprechendem Definitionsbereich für $r$, $s$ und $t$ bestimmt.
Der Definitionsbereich ergibt sich durch die Schnittpunkte mit den jeweiligen Seiten: $0\leq r \leq 0{,}6$, $0\leq s \leq 1{,}5$, $0\leq t \leq -1$.
Der Schnittpunkt der Geraden ha und hb ergibt als Höhenschnittpunkt H(2|0|1) (mit $r=1$ und $s=2$).

Methode: Mit Hilfe der Richtungsvektoren der Dreiecksebene

Als Richtungsvektoren der Dreiecksebene wählen wir $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$. Die Höhen liegen in der Dreiecksebene und die Richtungsvektoren der Höhengeraden sind demnach durch die Richtungsvektoren der Dreiecksebene darstellbar: $$ \begin{array}{rcl} ha &=& r \overrightarrow{AB} + s \overrightarrow{AC} \\ ha &=& r \begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \end{array} $$

Der Richtungsvektor der Höhe soll aber gleichzeitig senkrecht auf die Seite $\overline{BC}$ sein. Also ist das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Höhe und des Richtungsvektors der Gerade durch B und C null: $$ \begin{array}{rcl} ha \cdot \overrightarrow{BC} &=& 0 \\ ha \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} &=& 0 \\ \left[r \begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} &=& 0 \\ -6r + (1-2)s &=& 0 \end{array} $$ Wenn Sie nun diese Beziehung in ha einsetzen erhalten Sie: $$ \begin{array}{rcl} -6r + (-1)s &=& 0 \\ -6r &=& s \\ ha &=& r \begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} + (-6r) \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \\ ha &=& r \begin{pmatrix} -6 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \\ ha &=& k \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{array} $$ $$ ha: \vec{x} = A + k \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Sie erhalten dieselben Höhen wir bei der ersten Methode. Den Höhenschnittpunkt bestimmen Sie wiederum durch Gleichsetzen der Geraden (Sie müssen die Geradengleichungen aufstellen mit Punkt und Richtungsvektor).