Eine Raute ist ein Viereck, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Insbesondere ist
auch ein Quadrat eine (spezielle) Raute.
In diesem Abschnitt beweisen wir folgenden Satz:
In einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.
Eine Raute. Die Seiten sind gleich lang und parallel.
Maxima Code
Da wir die Orthogonalität beweisen wollen (der Winkel der Diagonalen soll 90° sein),
benötigen wir das Skalarprodukt:
Wir müssen für die Diagonalen ($d_1$ und $d_2$) folgendes zeigen:
$$ \overrightarrow{d_1} \cdot \overrightarrow{d_2} = 0 $$
Dazu ersetzen wir zuerst die Diagonalen:
$$ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$
$$ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} $$
Dann bilden wir das Skalarprodukt:
$$
\begin{align*}
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}
&= (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC})
\cdot
(\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB})
\\
&= \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
-
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}
+
\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC}
-
\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AB}
\end{align*}
$$
Zwei Summanden sind gleich:
$$
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}
= \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BC}
- \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB}
$$
Jeder der Summanden gibt das Quadrat seiner Länge an.
Da die Länge der Seiten aber gleich sind bei einer Raute, gilt:
$$ \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 $$
Also sind die Diagonalen in einer Raute orthogonal.
Koordinatensystem
