Ebene - Ebene

Wenn sich zwei Ebenen schneiden (sie also nicht parallel sind), ergibt sich als Schnittobjekt eine Gerade. Dies kennen Sie aus eigener Anschauung: Ein Buch besteht aus zwei Ebenen: die linke Buchseite und die rechte Buchseite. Beide Seiten des Buches schneiden sich in der Falz, das ist eine Schnittgerade. Oder ein anderes Beispiel: die Kante eines Raumes ist die Schnittgerade zweier Mauern (Ebenen).

Gegeben sind folgende zwei Ebenen: $$ E_1: -3x_1 - 7x_2 + 2x_3 = -7 $$ bzw. in Parameterdarstellung: $$ E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ und $$ E_2: -1x_1 - 4x_2 - 1x_3 = -24 $$ bzw. in Parameterdarstellung: $$ E_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 13 \end{pmatrix} + m \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + n \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Verfahren mit der Koordinatenform

Am einfachsten untersuchen Sie die Lage der beiden Ebenen zueinander mit Hilfe der Koordinatenform.

1. Ob die Ebenen parallel sind, ergibt sich aus den Normalenvektoren: Wenn die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind, dann sind die Normalenvektoren parallel und damit dann auch die Ebenen. $$ \overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix} -3 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix} \;\;\; \overrightarrow{n_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} $$ Die Ebenen sind nicht parallel, da $\overrightarrow{n_1}$ kein Vielfaches von $\overrightarrow{n_2}$ ist (oder umgekehrt).
2. Beide Koordinatenformen müssen erfüllt sein, dies ergibt ein Gleichungssystem: $$ \begin{array}{rcl} -3x_1 - 7x_2 + 2x_3 = -7 \\ -1x_1 - 4x_2 - 1x_3 = -24 \end{array} $$ In Matrix-Vektor-Schreibweise: $$ \begin{pmatrix} -3 & -7 & 2 \\ -1 & -4 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -7 \\ -24 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Dieses Gleichungssystem kann man mit dem Gaussverfahren lösen und erhält als letzte Umformung: Lösung als pdf. (TeX) $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} -28 \\ 13 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Als Lösung: $$ \vec{x} = \begin{pmatrix} -28 \\ 13 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Verfahren mit den Normalenvektoren bei einer Schnittgeraden.

Das Verfahren kann vereinfacht werden, wenn Sie sich klar machen, dass der Richtungsvektor der Schnittgeraden parallel zur Ebene $E_1$ ist und somit orthogonal zu $\overrightarrow{n_1}$ ist. Ebenso ist der Richtungsvektor der Schnittgeraden orthogonal zu $\overrightarrow{n_2}$.

Bestimmung des Richtungsvektors der Schnittgeraden

Wenn ein Vektor im dreidimensionalem Raum orthogonal zu zwei anderen Vektoren ist, dann kann er durch das Vektorprodukt gebildet werden: $$ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2} = \begin{pmatrix} -3 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ -5 \\ 5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Bestimmung eines Punktes der Schnittgeraden

Für die Suche nach einer Lösung, die beide Koordinatengleichungen erfüllt wählen Sie wahlweise $x_1 = 0$ oder $x_2 = 0$ oder $x_3 = 0$ und lösen eines dieser Gleichungssysteme: $$ \overrightarrow{n_1} = \begin{pmatrix} -3 \\ -7 \\ 2 \end{pmatrix} \;\;\; \overrightarrow{n_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} $$ $$ x_3 = 0: \;\;\; \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ -1 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -24 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{x} = \begin{pmatrix} -28 \\ 13 \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ x_2 = 0: \;\;\; \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -24 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{x} = \begin{pmatrix} 11 \\ 0 \\ 13 \end{pmatrix} $$ $$ x_1 = 0: \;\;\; \begin{pmatrix} -7 & 2 \\ -4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -24 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{11}{3} \\ \frac{28}{3} \end{pmatrix} $$

Verfahren mit der Parameterform

Nun müssen wir ein Gleichungssystem (mit dem Gaussverfahren) lösen. $$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 13 \end{pmatrix} + m \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + n \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$ Umformen ergibt: $$ k \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + m \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + n \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 10 \end{pmatrix} $$ Dieses Gleichungssystem kann man mit dem Gaussverfahren lösen und erhält als Lösung: Lösung als pdf. (TeX) $$ \begin{pmatrix} k \\ l \\ m \\ n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Die Werte für (k, l) müssen Sie in $E_1$ einsetzen oder die Werte für (m, n) in $E_2$ einsetzen. $$ E_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + l \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + (2 - r) \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + (3 + 0r) \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$ $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 + 6 - 3r - 3 \\ 1 - 2 + r + 3 \\ 3 + 2 - r + 6 \end{pmatrix} $$ $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 11 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$