Abstand zwischen zwei Punkten

Die Differenz zweier Punkte ergibt einen Verschiebungsvektor. Die Länge des Verschiebungsvektors ist gerade der Abstand zwischen den beiden Punkten. $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \,\,\, \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} $$

1. Mit Hilfe des Pythagoras: $$ d = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2} $$
2. Mit Hilfe des Skalarproduktes: $$ d^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) $$

Beispiel

Bestimmen Sie den Abstand zwischen den beiden Punkten A(5|12|-5) und B(3|1|5).

Der Verschiebungsvektor: $$ \vec{c} = \begin{pmatrix} 5 \\ 12 \\ -5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \ -10 \end{pmatrix} $$

1. Methode 1: Pythagoras
   $$ \begin{array}{rcl} d &=& \sqrt{ 2^2 + 11^2 (-10)^2 } \\ &=& \sqrt{ 4 + 121 + 100 } \\ &=& \sqrt { 225 } \\ &=& 15 \end{array} $$
2. Methode 2: Skalarprodukt
   $$ \begin{array}{rcl} d^2 &=& \vec{c} \cdot \vec{c} \\ &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \ -10 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 11 \ -10 \end{pmatrix} \\ &=& 2 \cdot 2 + 11 \cdot 11 + (-10) \cdot (-10) \\ &=& 225 \\ d &=& 15 \end{array} $$