Der Satz von Varignon
Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines (beliebigen) Vierecks
verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.
Der Satz von Varignon
Wenn man die Mitten benachbarter Seiten eines (beliebigen) Vierecks
verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm.
Die Mitten eines Vierecks sind verbunden worden und ergeben eine Parallelogramm.
Maxima Code
Vorgehen zum Beweis:
Wir legen den Koordinatenursprung fest.
Wir ermitteln die Mitten der Seiten des Vierecks.
Wir ermitteln die Vektoren, die die Mitten verbinden.
Die gegenüberliegenden Vektoren müssen parallel und gleichlang sein.
$$AB = \vec{a} = B - A $$
$$BC = \vec{b} = C - B $$
$$CD = \vec{c} = D - C $$
$$DA = \vec{d} = A - D $$
Der Koordinatenursprung wird auf den Punkt A gelegt.
Die Vektoren werden festgelegt.
Maxima Code
$$AB = \vec{a} = B - A $$
$$BC = \vec{b} = C - B $$
$$CD = \vec{c} = D - C $$
$$DA = \vec{d} = A - D $$
$$
M_{AB} = 0.5 \, \vec{a}
$$
Die Bestimmung von MAB
MAB ist die Mitte von AB.
Maxima Code
$$
M_{AB} = A + 0.5 \, \vec{a}
$$
Hier zeigt sich, wie hilfreich es ist, dass der Koordinatenursprung
auf dem Punkt A(0|0) liegt:
$$
M_{AB} = 0.5 \, \vec{a}
$$
$$
M_{BC} = \vec{a} + 0.5 \, \vec{b}
$$
Die Bestimmung von MBC
MBC ist die Mitte von BC.
Maxima Code
$$
M_{BC} = \vec{a} + 0.5 \, \vec{b}
$$
$$
M_{CD} = \vec{a} + \vec{b} + 0.5 \, \vec{c}
$$
Die Bestimmung von MCD
MCD ist die Mitte von CD.
Maxima Code
$$
M_{CD} = \vec{a} + \vec{b} + 0.5 \, \vec{c}
$$
MDA ist die Mitte von DA.
Maxima Code
$$
M_{DA} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + 0.5 \, \vec{d}
$$
$$
M_{DA} = 0.5 (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})
$$
Wenn man alle Vektoren
$\vec{a}$,
$\vec{b}$,
$\vec{c}$,
$\vec{d}$
einmal entlanggeht, landet man wieder bei dem Ausgangspunkt.
$$
\begin{array}{rcl}
\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} &=& 0 \\
\vec{d} &=& -\, \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}
\end{array}
$$
Dies kann man nun bei MDA ersetzen:
$$
\begin{array}{rcl}
M_{DA} &=& \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + 0.5 \, \vec{d} \\
&=& \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + 0.5 (-\, \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) \\
&=& 0.5 (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})
\end{array}
$$
$$
M_{BC} - M_{AB} = 0.5\, \vec{a} + 0.5\,\vec{b}
$$
$$
M_{BC} - M_{DA} = 0.5\, \vec{a} + 0.5\,\vec{b}
$$
Die beiden Vektoren sind gleich. Dann sind die Seiten parallel und gleichlang.
1. Seite des inneren Vierecks
$$
\begin{array}{rcl}
\color{blue}{M_{BC}} - \color{red}{M_{AB}}
&=& \color{blue}{\vec{a} + 0.5\,\vec{b}} - \color{red}{0.5\vec{a}} \\
&=& 0.5\, \vec{a} + 0.5\,\vec{b}
\end{array}
$$
Die Gegenseite:
$$
\begin{array}{rcl}
\color{blue}{M_{BC}} - \color{red}{M_{DA}}
&=& \color{blue}{(\vec{a} + \vec{b} + 0.5\,\vec{c})} - \color{red}{0.5\, (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})} \\
&=& \vec{a} + \vec{b} + 0.5\,\vec{c} - 0.5\, \vec{a} - 0.5 \, \vec{b} - 0.5 \, \vec{c} \\
&=& 0.5\, \vec{a} + 0.5\,\vec{b}
\end{array}
$$
Die beiden Vektoren sind gleich. Dann sind die Seiten parallel und gleichlang.
Koordinatensystem
