Nachweis der Orthogonalität des Vektorproduktes

Es gibt zwei Möglichkeiten das Vektorprodukt zu untersuchen:

Direkter Nachweis mit Hilfe des Skalarproduktes

$$ \vec{n} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2 \, b_3 - a_3 \, b_2 \\ a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3 \\ a_1 \, b_2 - a_2 \, b_1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{n} &=& \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_2 \, b_3 - a_3 \, b_2 \\ a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3 \\ a_1 \, b_2 - a_2 \, b_1 \end{pmatrix} \\ &=& a_1 \cdot (a_2 b_3 - a_3 b_2) + a_2 \cdot (a_3 b_1 - a_1 b_3) + a_3 \cdot (a_1 b_2 - a_2 b_1) \\ &=& a_1 a_2 b_3 - a_1 a_3 b_2 + a_2 a_3 b_1 - a_1 a_2 b_3 + a_1 a_3 b_2 - a_2 a_3 b_1 \\ &=& 0 \end{array} $$ $$ \begin{array}{rcl} \vec{b} \cdot \vec{n} &=& \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_2 \, b_3 - a_3 \, b_2 \\ a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3 \\ a_1 \, b_2 - a_2 \, b_1 \end{pmatrix} \\ &=& b_1 \cdot (a_2 b_3 - a_3 b_2) + b_2 \cdot (a_3 b_1 - a_1 b_3) + b_3 \cdot (a_1 b_2 - a_2 b_1) \\ &=& a_2 b_1 b_3 - a_3 b_1 b_2 + a_3 b_1 b_2 - a_1 b_2 b_3 + a_1 b_2 b_3 - a_2 b_1 b_3 \\ &=& 0 \end{array} $$

Angabe eines senkrechten Vektors mit Hilfe des Skalarproduktes und eines Gleichungssystems.

In diesem Abschnitt suchen wir einen Vektor $\vec{n}$, der senkrecht zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist. Dazu stellen wir Gleichungen mit Hilfe des Skalarproduktes auf und lösen diese anschliessend mit Hilfe des Gauss-Verfahrens.

Da der Vektor $\vec{a}$ senkrecht ist zu dem Vektor $\vec{n}$, muss das Skalarprodukt null sein: $$ \begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{n} &= 0 \\ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} &= 0 \\ a_1 n_1 + a_2 n_2 + a_3 n_3 &= 0 \end{align*} $$ Dies gilt ebenso für den Vektor $\vec{b}$: $$ \begin{align*} b_1 n_1 + b_2 n_2 + b_3 n_3 &= 0 \end{align*} $$

Sie erhalten also zwei Gleichungen, die Sie mit Hilfe des Gaussverfahrens lösen können. Die letzte Zeile ist sicherlich nicht falsch und wird ergänzt, damit der Algorithmus sich schöner aufschreiben lässt. $$ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 $$ Nun gilt es zuerst in der 1. Spalte alle Einträge unterhalb der Diagonalen durch geschickte Addition mit der 1. Zeile zu null umzuformen. $$ \begin{array}{l} II' = a_1 \cdot II - b_1 \cdot I \\ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ 0 & a_1 b_2 - b_1 a_2 & a_1 b_3 - b_1 a_3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \end{array} $$ Sie sehen nun in der 2. Spalte Terme, die auch im Vektorprodukt vorkommen.
Da Sie eine Nullzeile haben, sind nun alle Werte unterhalb der Diagonalen null. Nun gilt es in der 2. Spalte alle Einträge oberhalb der Diagonalen durch geschickte Addition mit der 2. Zeile zu null umzuformen. $$ \begin{array}{l} I' = (a_1 b_2 - b_1 a_2 )\cdot I - a_2 \cdot II \\ \begin{pmatrix} a_1 (a_1 b_2 - b_1 a_2 ) & 0 & a_3 (a_1 b_2 - b_1 a_2 ) - a_2 (a_1 b_3 - b_1 a_3) \\ 0 & a_1 b_2 - b_1 a_2 & a_1 b_3 - b_1 a_3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \end{array} $$ Nun vereinfachen wir nur den Term in der 1. Zeile und der letzten Spalte: $$ \begin{align*} a_3 (a_1 b_2 - b_1 a_2 ) - a_2 (a_1 b_3 - b_1 a_3) &= a_3 a_1 b_2 - a_3 b_1 a_2 - a_2 a_1 b_3 + a_2 b_1 a_3 \\ \text{Sortieren der Summanden ergibt:} & \\ &= a_1 a_3 b_2 - {\color{green} a_2 a_3 b_1} - a_1 a_2 b_3 + {\color{green} a_2 a_3 b_1} \\ \text{Die beiden gr"unen Summanden heben sich auf.} & \\ &= a_1 a_3 b_2 - a_1 a_2 b_3 \\ \end{align*} $$ Damit ergibt sich bei den Gleichungen: $$ \begin{array}{l} I' = (a_1 b_2 - b_1 a_2 )\cdot I - a_2 \cdot II \\ \begin{pmatrix} a_1 (a_1 b_2 - b_1 a_2 ) & 0 & a_1 a_3 b_2 - a_1 a_2 b_3 \\ 0 & a_1 b_2 - b_1 a_2 & a_1 b_3 - b_1 a_3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \end{array} $$ Jetzt wird schrittweise durch die Werte auf der Hauptdiagonalen geteilt, um einen Block als Einheitsmatrix zu erhalten. $$ \begin{array}{l} I' = I / a_1 \\ \begin{pmatrix} a_1 b_2 - b_1 a_2 & 0 & a_3 b_2 - a_2 b_3 \\ 0 & a_1 b_2 - b_1 a_2 & a_1 b_3 - b_1 a_3 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \end{array} $$ $$ \begin{array}{l} I' = I / (a_1 b_2 - b_1 a_2) \\ II' = II / (a_1 b_2 - b_1 a_2) \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{a_3 b_2 - a_2 b_3}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \\ 0 & 1 & \frac{a_1 b_3 - b_1 a_3}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} = 0 \end{array} $$ Damit ergibt sich die Lösung für $\vec{n}$ zu: $$ \vec{n} = r \begin{pmatrix} - \, \frac{a_3 b_2 - a_2 b_3}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \\ - \, \frac{a_1 b_3 - b_1 a_3}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \\ 1 \end{pmatrix} $$ Die letzte Zeile wird erweitert durch den gemeinsamen Nenner und dieser wird vor dem Bruch geschrieben: $$ \vec{n} = r \begin{pmatrix} - \, \frac{a_3 b_2 - a_2 b_3}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \\ - \, \frac{a_1 b_3 - b_1 a_3}{a_1 b_2 - b_1 a_2} \\ 1 \end{pmatrix} = r \, \frac{1} {a_1 b_2 - b_1 a_2} \, \begin{pmatrix} - (a_3 b_2 - a_2 b_3) \\ - (a_1 b_3 - b_1 a_3) \\ a_1 b_2 - b_1 a_2 \end{pmatrix} = r \, \frac{1} {a_1 b_2 - b_1 a_2} \, \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - b_1 a_2 \end{pmatrix} $$ Anschliessend substituieren wir den Parameter $r$ durch $s = r \, \frac{1} {a_1 b_2 - b_1 a_2} $ und erhalten: $$ \vec{n} = s \, \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - b_1 a_2 \end{pmatrix} $$ Dies ergibt für $s=1$ gerade das Vektorprodukt.