Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden: Extremwertproblem

Gesucht ist der minimale Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden. $$ g: \vec{x} = \vec{a} + t \vec{v} \;\;\; P = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} $$

Der Abstand eines beliebigen Punktes $\vec{x}$ zum Punkt P bestimmt sich nach: $$ d = |\vec{x} - \vec{p}| $$ Wenn $\vec{x}$ ein Punkt der Geraden ist, gilt: $$ d = \left| \vec{a} + t \vec{v} - \vec{p} \right| $$ Der Abstand ist nur von der Variablen t abhängig. Somit ist der Abstand eine Funktion von t und man kann mit Hilfe der Differentialrechnung den kürzesten Abstand bestimmen: $ d_{min}'(t) = 0 $ und $ d_{min}''(t) \neq 0 $

Beachten Sie, dass dies das einzige Verfahren ist, bei dem Sie den Lotpunkt L nicht bestimmen müssen.

Beispiel

Gesucht ist der minimale Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden. $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 13 \\ 12 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} $$ P(2|3|4)

$$ \begin{array}{rcl} d &=& \left| \begin{pmatrix} 13 \\ 12 \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \\ &=& \left| \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \right| \\ &=& \sqrt{ (11+3t)^2 +(9 + 0t)^2 +(3 - t)^2 } \\ &=& \sqrt{(121 + 66t + 9t^2) + (81) + (9 - 6t + t^2) }\\ &=& \sqrt{211 + 60t + 10t^2} \end{array} $$ Um nicht die Wurzelfunktion abzuleiten, untersuchen wir das Quadrat des Abstandes. Wenn $(d(t))^2=qd(t)$ minimal wird, ist auch der Abstand minimal. $$ \begin{array}{rcl} qd(t) &=& 10t^2 + 60t + 211 \\ qd'(t) &=& 20t + 60 \\ qd''(t) &=& 20 \\ qd'(t) &=& 0 \\ 20t + 60 &=& 0 \\ t &=& -3 \\ qd''(t) &>&0 \end{array} $$ Da $qd(t)$ eine quadratische Funktion hat reicht es aus hier nur die 1. Ableitung zu betrachten, um die Extremstelle zu finden. Da $qd''(t) > 0$ handelt es sich um ein Minimum.

Der Abstand ist dann: $$ \begin{array}{rcl} d(-3) &=& \sqrt{ 10 \cdot (-3)^2 + 60 \cdot (-3) + 211 }\\ &=& \sqrt{90 - 180 + 211 }\\ &=& \sqrt{121 }\\ &=& 11 \end{array} $$ Der Abstand beträgt 11.

Den Punkt L können Sie bestimmen, indem Sie $t=-3$ in die Geradengleichung einsetzen.