Inhomogene/homogene Gleichung

Definition

Gleichungen der Form: $$ M \vec{x} = 0 $$ nennt man eine homogene Gleichung.

Gleichungen der Form: $$ M \vec{x} = \vec{b} \;\;\;\; \vec{b} \neq 0 $$ nennt man eine inhomogene Gleichung.

Bedeutung bei Mehrdimensionalen Lösungen

Gegeben ist Ihnen folgendes (inhomogenes) Gleichungssystem: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 7 \end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 14 \end{pmatrix} $$ Mit der Lösung: $$ \vec{x} = \begin{pmatrix} \color{blue}{1} \\ \color{blue}{2} \\ \color{blue}{1} \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} \color{red}{1} \\ \color{red}{2} \\ \color{red}{-1} \\ \end{pmatrix} $$

Der erste Vektor ist eine (von mehreren möglichen) Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. Der erste Vektor ist eine (von mehreren möglichen) Lösung des homogenen Gleichungssystems: $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{blue}{1} \\ \color{blue}{2} \\ \color{blue}{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 14 \end{pmatrix} $$ und $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 3 & 2 & 7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \color{red}{1} \\ \color{red}{2} \\ \color{red}{-1} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Beispiel: Umformen der Koordinatenform in die Parameterform

$$ E: 3x_1 + 2x_2 + 1x_3 = 5 $$ Sie suchen die Lösung dieser Gleichung. Dazu benötigen Sie eine Lösung der inhomogenen Gleichung und zwei linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung:

  1. Eine lösung der inhomogenen Gleichung: $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} $$
  2. Eine Lösung der homogenen Gleichung: $$ 3x_1 + 2x_2 + 1x_3 = 0 $$ $$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} $$
  3. Eine Lösung der homogenen Gleichung: $$ 3x_1 + 2x_2 + 1x_3 = 0 $$ $$ \vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$
  4. Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{c}$ sind linear unabhängig, da sie nicht Vielfache voneinander sind.