Umformen der Ebenendarstellungen
Parameterform -> Normalenform
$$ E: \vec{x} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Gesucht ist die Normale der Ebene. Die Normale ist senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren. $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Ein Punkt der Ebene ist direkt aus der Parameterform ablesbar: $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} $$ $$ E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 $$Normalenform -> Koordinatenform
$$ E: \left[ \vec{x} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 $$ Der Normalenvektor gibt die Vorfaktoren von $x_1$, $x_2$ und $x_3$: $$ -2x_1 + 1 x_2 + 1x_3 = e $$ Um $e$ zu bestimmen setzt man einen beliebigen Punkt der Ebene ein: $$ e = -2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 3 $$ Damit ergibt sich die Koordinatenform zu: $$ -2 x_1 + x_2 + x_3 = 3 $$Koordinatenform -> Parameterform
Es gibt zwei Möglichkeiten:- Sie suchen drei verschiedene Punkte und erstellen die Parameterform aus diesen Punkten.
- Sie finden einen Punkt. Wenn Sie die Richtungsvektoren in die Koordinatengleichung einsezten erhalten Sie als Lösung null. Entsprechend müssen Sie dann zwei linear unabhängige Richtungsvektoren auswählen.
- Sie benutzen das Gaussverfahren und erstellen die Parameterform direkt.
Verfahren 1: Drei Punkte
In der Regel reicht folgendes Verfahren: Setzen Sie jeweils zwei Komponenten gleich null und ermitteln Sie dann die Koordinatenachsenschnittpunkte: $$ x_2 = x_3 = 0 \Rightarrow -2 x_1 = 3 \Rightarrow P_1 = (-1{,}5|0|0) $$ $$ x_1 = x_3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3 \Rightarrow P_2 = (0|3|0) $$ $$ x_1 = x_2 = 0 \Rightarrow x_3 = 3 \Rightarrow P_3 = (0|0|3) $$ Aus den drei Punkten bestimmen Sie Richtungsvektoren: $$ \vec{u_1} = \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1{,}5\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1{,}5\\3\\0 \end{pmatrix} $$ Sie multiplizieren den Vektor mit $\frac{1}{1{,}5}$, um ganzzahlige Werte zu erhalten: $$ \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} $$ $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\0\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} $$ Sie multiplizieren den Vektor mit $\frac{1}{1{,}5}$, um ganzzahlige Werte zu erhalten: $$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$ Dann lautet eine Parameterform: $$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\3\\0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Alternativ und vernünftigerweise können Sie die Richtungsvektoren auch so bestimmen: $$ \begin{array} u_1 &=& \begin{pmatrix} 0 \\ n_3 \\ -n_2 \\end{pmatrix} \\ u_2 &=& \begin{pmatrix} n_3 \\ 0 \\ -n_1 \\end{pmatrix} \\ u_3 &=& \begin{pmatrix} n_2 \\ -n_3 \\ 0 \\end{pmatrix} \end{array} $$ Maximal einer der Richtungsvektoren ist der Nullvektor. Dies passiert z. B. bei $n = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}. Wenn der Normalenvektor normal zur xy-Ebene (bzw. zur yz- oder yz-Ebene) ist.
Verfahren 2: Frei Wählen $$ E: -2x_1 + x_2 + x_3 = 3 $$Ein Punkt muss die Koordinatengleichung erfüllen. Wählen Sie geschickt. Z. B.: $$P = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Die Richtungsvektoren müssen folgende Gleichung erfüllen und müssen linear unabhängig sein. D. h. bei zwei Vektoren, dass Sie kein Vielfaches von einander sein dürfen. $$ E: -2x_1 + x_2 + x_3 = 0 $$ $$ \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Damit erhalten Sie als Parameterform: $$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Verfahren 3: Gaussverfahren
Sie formen die Gleichung um: $$ \begin{array}{rcl} -2x_1 + x_2 + x_3 &=& 3 \\ -2x_1 &=& 3 - x_2 - x_3 \\ x_1 &=& -1{,}5 + 0{,}5 x_2 + 0{,}5x_3 \end{array} $$ $x_2$ und $x_3$ sind frei wählbar. Damit bestimmen Sie die Komponente $x_1$. Darum ersetzen Sie in der Gleichung $x_2$ durch $r'$ und $x_3$ durch $s'$ und führen so Parameter ein: $$ \begin{array}{rccc} x_1 &=& -1{,}5 & + 0{,}5 r' & + 0{,}5 s' \\ x_2 &=& 0 & 1 r' & \\ x_3 &=& 0 & 0 & 1 s' \\ \end{array} $$ Im Vektorschreibweise: $$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r' \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s' \begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Jetzt haben Sie eine Parameterform. Um bei den Richtungsvektoren ganzzahlige Werte zu erhalten, ersetzen Sie die Richtungsvektoren durch Vielfache (Multiplikation jeweils mit zwei): $$ E: \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1{,}5 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r' \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s' \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} $$