Die Koordinatendarstellung
Um die Koordinatendarstellung zu erhalten, wird
die Normalendarstellung ausmultipliziert (siehe Beispiel).
Beispiel
Gegeben ist die folgende Ebene in Normalenform:
$$
E: \left[
\vec{x} - \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}
\right]
\cdot
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
= 0
$$
Bestimmen Sie die Koordinatenform:
$$
\begin{array}{rl}
E:
&
\left[
\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}
\right]
\cdot
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
= 0
\\
&
2 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3
- (2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3)
= 0
\\
&
2x_1 + x_2 + 2 x_3 - 10 = 0
\\
&
2x_1 + x_2 + 2 x_3 = 10
\end{array}
$$
Die Ebene in Koordinatenform:
$$ E: 2x_1 + x_2 + 2 x_3 = 10 $$
Hinweise zur Koordinatenform
-
Die Vorfaktoren vor den $x_1$, $x_2$ und $x_3$ ergeben den Normalenvektor der Ebene.
-
Einzelne Punkte der Ebene sind in der Regel schnell zu bestimmen, indem man
immer zwei Komponenten gleich null wählt und dann die andere
Komponente durch eine Gleichung bestimmt.
Dies sind dann die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
$$ 2x_1 + 0 + 0 = 10 \Leftrightarrow x_1 = 5 \Rightarrow P_1(5|0|0)$$
$$ x_2 = 10 \Leftrightarrow x_2 = 10 \Rightarrow P_2(0|10|0)$$
$$ 2x_3 = 10 \Leftrightarrow x_3 = 5 \Rightarrow P_3(0|0|5)$$
-
Es müssen nicht immer alle drei Komponenten gegeben sein:
$$ E: x_1 = 5$$
diese Ebene hat als Normalenvektor:
$$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$
und wird in Parameterform geschrieben als:
$$
E:\vec{x} =
\begin{pmatrix} 5\\0\\0 \end{pmatrix}
+ r \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}
+ 2 \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}
$$
-
Wenn Sie die Richtungsvektoren der Parameterform in die Koordinatenform einsetzen,
erhalten Sie als Ergebnis null:
$$
\begin{array}{l}
E: 2x_1 + x_2 + 2 x_3 = 10 \\
E: \vec{x} =
\begin{pmatrix} 5\\0\\0 \end{pmatrix}
+ r \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
+ s \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\\
2 \cdot (-1) + 2 + 2 \cdot 0 = 0 \\
2 \cdot (-1) + 0 + 2 \cdot 1 = 0
\end{array}
$$
-
Sie erhalten die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, indem
Sie jeweils zwei Komponenten gleich null wählen und die fehlende
Komponente so wählen, dass die Gleichung erfüllt ist:
$$ E: 2x_1 + x_2 + 2 x_3 = 10 $$
- $S_1 = (\frac{10}{2}|0|0) = (5|0|0)$
- $S_2 = (0|\frac{10}{1}|0) = (0|10|0)$
- $S_3 = (0|0|\frac{10}{2}) = (0|0|5)$
Koordinatensystem