In diesem Abschnitt geht es darum zu zeigen, dass sich aus der geometrischen
Definition des Skalarproduktes in kartesischen Koordinaten
eine einfache Berechnung des Skalarproduktes ergibt:
Es gilt zu zeigen:
Aus der geometrischen Definition für den Anschauungsraum:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,\vec{b}| \, \cos(\gamma)$$
folgt das Standardskalarprodukt:
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \ldots $$
Der Beweis erfolgt in zwei Schritten:
Aus der Definition erstellen wir Klammerrechenregeln für das Skalarprodukt
Dann werden wir Vektoren aufspalten und mit Hilfe der Rechenregeln zeigen, dass das Skalarprodukt
sehr einfach zu rechnen ist.
Das Distributivgesetz
In diesem Abschnitt zeigen wir, dass die Klammerregeln auch bei
Vektoren und dem Skalarprodukt gelten.
$\vec{b} = \vec{c} + \vec{d}$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d}$ Maxima Code
In der Figur ist der Vektor $\vec{b}$ zusammengesetzt durch
die beiden Vektoren $\vec{c}$ und $\vec{d}$:
$$\vec{b} = \vec{c} + \vec{d}$$
$\vec{a} \cdot \vec{b}$ ist die Projektion des Vektors
$\vec{b}$ auf den $\vec{a}$.
Diese Strecke setzt sich zusammen aus $\vec{a} \cdot \vec{c}$
und $\vec{a} \cdot \vec{d}$.
So gilt:
$$ \vec{a} \cdot \vec{b}
= \vec{a} (\vec{c} + \vec{d})
= \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d}
$$
Das Skalarprodukt
Da die Winkel zwischen den Einheitsvektoren
$\vec{e}_1$ und $\vec{e}_2 \ldots$ 90° beträgt, ist das Skalarprodukt
zweier Einheitsvektoren entweder 1 oder 0:
Es ist 1, wenn die Einheitsvektoren gleich sind:
$$\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 1$$
$$\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1$$
und null, wenn die Einheitsvektoren verschieden sind:
$$\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = 0$$
$$\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0$$
Jeder Vektor kann auch als Summe der Vielfache der jeweiligen
Einheitsvektoren geschrieben werden.
$$
\vec{a}
= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \end{pmatrix}
= a_1 \vec{e}_1 + a_2 \vec{e}_2 \ldots
$$
$$
\begin{align*}
\vec{a} \cdot \vec{b}
&= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \end{pmatrix}
\\
&= (a_1 \vec{e}_1 + a_2 \vec{e}_2 + \ldots )
\cdot
(b_1 \vec{e}_1 + b_2 \vec{e}_2 + \ldots )
\\
& \text{Alles Ausmultiplizieren ergibt:} \\
&= a_1 \vec{e}_1 b_1 \vec{e}_1 + a_1 \vec{e}_1 b_2 \vec{e}_2 + \ldots
+ a_2 \vec{e}_2 b_1 \vec{e}_1 + a_2 \vec{e}_2 b_2 \vec{e}_2 + \ldots
\\
& \text{Das Skalarprodukt unterschiedlicher Einheitsvektoren ist null:} \\
&= a_1 \vec{e}_1 b_1 \vec{e}_1 + a_2 \vec{e}_2 b_2 \vec{e}_2 + \ldots
\\
& \text{Das Skalarprodukt eines Einheitsvektors mit sich selbst ist eins:} \\
&= a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots
\end{align*}
$$
Koordinatensystem
