Winkel zwischen zwei Ebenen

Hier lernen Sie den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen zu berechnen.

Gesucht ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen: $$ E_1: \left [ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{x} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 $$ $$ E_2: \left [ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \vec{x} \right ] \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 $$

Für die Lage der Ebenen ist der jeweilige Normalenvektor verantwortlich. Deswegen muss der Winkel zwischen den Normalenvektor bestimmt werden.

Um den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Ebenen zu bestimmen, benötigen Sie für die Ebenen die Normalenform. Sie bestimmen dann den Winkel $\beta$ zwischen den beiden Normalenvektoren. Es gilt: $\alpha + \beta = 180^\circ$. Die beiden Winkel liegen in einem Viereck gegenüber. Die anderen beiden Winkel sind 90° groß.

$$ \cos(\beta) = \frac{ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} } { |\vec{a}|\,|\vec{b}| } $$

$$ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 6 \cdot 8 + 3 \cdot 4 = 2 + 48 + 12 = 62 $$

$$ |\vec{n_1}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 $$ $$ |\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9 $$

Einsetzen in die Formel für den Winkel: $$ \cos(\beta) = \frac{ 62 } {7 \cdot 9 } = 0.98 $$ $$ \beta = \arccos (0.98) = 10^\circ $$

$$ \alpha = 180^\circ - 10^\circ = 170^\circ $$ Der Winkel zwischen der Geraden und der Ebene beträgt 170°