Magische Quadrate: Vorüberlegungen bei (3x3)-Quadraten

Beschriftung

Die Summe aller Zahlen

Jede Zeile hat die Summe S. Es gibt insgesamt drei Zeilen. Also ist die Summe aller Zahlen 3S: $$ m_{1,1} + m_{1,2} + m_{1,3} + m_{2,3} + \ldots = \sum m_{ij} = 3S $$ $m_{ij}$ ist das Element in der i.-ten Zeile und j.-ten Spalte. $\sum$ ist die Summe über alle Elemente.

Das mittlere Element

Die Diagonalen haben die Summe S. Die mittlere Zeile und die mittlere Spalte ebenso. Das mittlere Element wird viermal gezählt.

Diagonale + Diagonale + Spalte und Zeile = $4S$
Die mittlere Spalte, die mittlere Zeile und die beiden Diagonalen ergeben alle Zahlen genau einmal bis auf das mittlere Element. Dieses wird jetzt sogar vierfach gezählt.

$$ \sum m_{ij} + 3 \cdot m_{22} = 4S $$ Die Summe aller Elemente $\left(\sum m_{ij} = 3S \right)$ ist gerade $3 S$. $$ \begin{array}{rcl} 3 S + 3 \cdot m_{22} & = & 4 S \\ 3 \cdot m_{22} & = & S \\ m_{22} & = & \frac{S}{3} \end{array} $$ Das mittlere Element ist gleich der Summenzahl S.

Summe S Magischer (3x3)-Quadrate

Da jede Zahl genau einmal vorkommt und die Summe aller Elemente $3 S$ ergibt gilt: $$ \begin{array}{rcl} \sum m_{ij} & = & 3S \\ 1+2+3+4+5+6+7+8+9 & = & 3S \\ \frac{ (1+9) \cdot 9}{2} & = & 3S \\ 45 & = & 3 S \\ 15 & = & S \end{array} $$

Zusammenfassung

$$ \begin{array}{rclcl} S & = & 15 \\ m_{22} & = & \frac{S}{3} & = & 5 \\ \end{array} $$ Insbesondere ist das mittlere Element null, wenn die Summe S null ist.