Determinante und Lösungen eines Gleichungssystems
Ein Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn die Spalten (und dann auch die Zeilen) linear unabhängig sind. Der bisherige Test war, dass wir das Volumen berechnet der drei Vektoren (Spalten) ausgerechnet haben: $$V = \vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}$$ Wenn das Volumen null ist, dann liegen diese drei Vektoren in einer Ebene und sind linear abhängig voneinander.
$$ \begin{array}{rcl} V &=& \vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} \\ &=& \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix} a_2 \, b_3 - a_3 \, b_2 \\ a_3 \, b_1 - a_1 \, b_3 \\ a_1 \, b_2 - a_2 \, b_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \\ &=& a_2 \, b_3 \,c_1 - a_3 \, b_2 \, c_1 \\ && + a_3 \, b_1 \,c_2 - a_1 \, b_3 \, c_2 \\ && + a_1 \, b_2 \,c_3 - a_2 \, b_1 \, c_3 \end{array} $$
Da dieser Term wichtig ist, bekommt er einen eigenen Namen. $$ M = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{pmatrix} $$ Die Determinante einer Matrix berechnet sich dann nach der Regel von Sarrus: Schreiben Sie die Matrix neben der Matrix: