Winkel zwischen zwei Geraden

Hier lernen Sie den Winkel zwischen zwei sich schneidenden Geraden zu berechnen.

Gesucht ist der Winkel zwischen den beiden Geraden: $$ g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} $$ $$ h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} $$

Beide Geraden haben als Schnittpunkt den Punkt S(1|1|1). Jedoch ist für die Richtung der Geraden der jeweilige Richtungsvektor verantwortlich. Deswegen muss nur der Winkel zwischen den Richtungsvektoren bestimmt werden.

Die Formel: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}| \cos(\alpha) $$ Umstellen ergibt: $$ \cos(\alpha) = \frac{ \vec{a} \cdot \vec{b} } { |\vec{a}|\,|\vec{b}| } $$

$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 + 6 \cdot 8 + 3 \cdot 4 = 2 + 48 + 12 = 62 $$

$$ |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7 $$ $$ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9 $$

Einsetzen in die Formel für den Winkel: $$ \cos(\alpha) = \frac{ 62 } {7 \cdot 9 } = 0.98 $$ $$ \alpha = \arccos (0.98) = 10^\circ $$