Mehrdimensionale Lösungen

Gegeben ist Ihnen folgendes homogenes Gleichungssystem: $$ \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Für die Lösung dieses homogenen Gleichungssystems gilt, dass das Skalarprodukt mit den Zeilen jeweil null ergeben muss. D. h., dass die Lösung orthogonal zu den Zeilen ist. Ein Vektor, der zu zwei gegebenen Vektoren orthogonal sein soll, kann mit Hilfe des Vektorproduktes ermittelt werden: $$ \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Die Lösung des Gleichungssystems lautet daher: $$ \vec{c} = r \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Beispiel 2

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Sie benötigen durch geschicktes Raten eine spezielle Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. Die homogene Lösung können Sie durch das Vektorprodukt erhalten. $$ \overrightarrow{LSG_{hom}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$