Magische Quadrate

Die Summe ist immer 18.

5	10	3
4	6	8
9	2	7

Bei einem Magischen Quadrat (nxn) gelten folgende Regeln:

• Die Spaltensumme ist gleich der Zeilensumme und gleich der Diagonalensumme. Bei dem Quadrat oben ist sie 18.
• Es kommen nur die Zahlen zwischen 1 und n² vor.
• Jede Zahl kommt genau einmal vor.

Wir werden mathematisch Quadrate betrachten bei denen nur die Summen (Zeile/Spalte/Diagonale) immer eine konstante Zahl ergibt. Einige dieser Quadrate sind dann Magische Quadrate. Diese Quadrate sind ein weiteres Beispiel für das Rechnen mit Vektoren. Denn diese Quadrate kann man ebenfalls als Vektoren auffassen. Wir werden untersuchen, wie man solche Quadrate mit festen Summen aufstellt. Der Mathematiker sagt auch, dass magische Quadrate einer bestimmten Seitenlänge sogar einen Vektorraum bilden.

m_a ist ein Magisches Quadrat mit der geforderten Seitenlänge und der Summe a. r, t sind Zahlen. Die Summe: + ist dann die zahlenweise Addition der Magischen Quadrate (Feld1 + Feld1 ...) r ⋅ m_a ist dann die Multiplikation jedes Feldes mit einer Zahl r.

• V1: Assoziativgesetz: Die Reihenfolge der Addition der Quadrate spielt keine Rolle: m1_a + ( m2_b + m3_c) = (m1_a + m2_b) + m3_c = m_a+b+c
• V2: Existenz eines neutralen Elements: m₁ + 0 = m₁, wobei 0 ein magisches Quadrat mit lauter Nullen ist. (Dann ist die Summe auch null.)
• V3: Existenz eines inversen Elements: m_a + m_-a = 0 Bei m_-a sind alle Werte mit (-1) multipliziert.
• V4: Kommutativgesetz: m1_a + m2_b = m2_b + m1_a
• S1: r ⋅ (m1_a + m2_b) = r ⋅ m1_a + r ⋅ m2_b.
• S2: (r+b) ⋅ m_a = r ⋅ m_a + s ⋅ m_a
• S3: (r ⋅ s) ⋅ m_a = r ⋅ (s ⋅ m_a)
• S4: 1 ⋅ m_a = ⋅ m_a

Wir beschäftigen uns zuerst mit 3x3 Quadraten.

1. Wir untersuchen zuerst diese Quadrate allgemein. Welche Bewandtnis hat das mittlere Element?
2. Wir stellen Gleichungen auf, da die Summen immer eine vorgegebene Zahl bilden.
3. Diese Gleichungen lösen wir und interpretieren die Lösungen.