Dividieren -- Herleitung

Division natürlicher Zahlen

$$ 6 : 2 = 3 $$ Wie oft passt die 2 in die 6? Antwort: 3 mal.

Gleiche Nenner

$$ \frac{6}{7} : \frac{2}{7} $$ Wie oft passt $\frac{2}{7} $ in $ \frac{6}{7} $? Antwort: 3 mal. Denn $6 : 2 = 3$

Bei gleichen Nennern muss man nur die Zähler dividieren.

Ungleiche Nenner

$$ \frac{6}{5} : \frac{2}{3}$$ Wir führen das Problem auf ein bekanntes Problem zurück: Wir erweitern beide Brüche, so dass die Nenner gleich sind: $$ \frac{6}{5} : \frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} : \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{18}{15} : \frac{10}{15} $$ Jetzt wissen wir von oben, dass es reicht die Zähler zu dividieren: $$ \frac{6}{5} : \frac{2}{3} = \frac{18}{10} = \frac{6 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{9}{5} $$ Nun ist es sehr umständlich, immer erst gleiche Nenner herzustellen.
Der Zähler und der Nenner jedoch ergeben sich, wenn man kreuzweise multipliziert, bzw, mit dem Kehrwert multipliziert: $$ \frac{6}{5} : \frac{2}{3} = \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{9}{5} $$

Merkregel:
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert.