Die Summe der Zahlen von 1 bis n
Algebraische Herleitung
$$
\begin{align*}
S &= 1 + ... + n \\
&= \frac{(n+1)^2 - (n+1)}{2} \\
&= \frac{1}{2} \, n (n+1)
\end{align*}
$$
Man kann dieses Ergebnis auch anders herleiten:
- Die Summe der ersten und der letzten Zahl ergibt 1+n.
- Die Summe der zweiten und der vorletzten Zahl
ergibt ebenfalls 1+n.
- usw.
$$
S =
\underbrace{1 +
\underbrace{ 2 +
\underbrace{ 3 + \ldots
+ (n-2)}_{= n+1}
+ (n-1)}_{= n+1}
+ n}_{= n+1}
$$
Umstellen ergibt:
$$
S = \underbrace{(n+1) + (n+1) + \ldots + (n+1)}_{n/2 \,\mbox{Summanden}}
$$
Sie haben genau halb so viele Summanden ($\frac{1}{2}\,n$),
wie vorher Zahlen da waren:
$$ S = \frac{1}{2}\,n\,(n+1) $$
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