Die Summe der Zahlen von 1 bis n

Ein Quadrat, das in 5x5 Felder unterteilt wurde. Ein Quadrat, das in drei Teile getrennt wurde.
Das Quadrat ist in drei Teile geteilt: Die farbigen Quadrate, die weißen Quadrate auf der Diagonalen und die grauen Quadrate.

Die Anzahl der farbigen Quadrate ist so groß wie die Anzahl der grauen Quadrate.

So können wir die Anzahl der farbigen Quadrate sehr einfach bestimmen:
Man muss von der Anzahl aller Quadrate die Anzahl der Quadrate der Diagonalen abziehen und dann die Anzahl durch zwei teilen:

$$ \begin{align*} S &= \frac{5^2 - 5}{2} \\ &= \frac{(4+1)^2 - (4+1)}{2} \\ &= \frac{(n+1)^2 - (n+1)}{2} \end{align*} $$ Wie können die Summe schreiben als: $$\frac{(n+1)^2 - (n+1)}{2}$$

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Übersicht: Beweise